Question

【題目】如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為，與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在二次函數圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；

（3）當矩形MNHG的周長最大時，能否在二次函數圖象上找到一點P，使的面積是矩形MNHG面積的？若存在，求出該點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大值為10

（3）故點P坐標為：或或．

【解析】

（1）二次函數表達式為：，將點B的坐標代入上式，即可求解；

（2）矩形MNHG的周長，即可求解；

（3），解得：，即可求解．

（1）二次函數表達式為：，

將點B的坐標代入上式得：，解得：，

故函數表達式為：…①；

（2）設點M的坐標為，則點，

則，，

矩形MNHG的周長，

∵，故當，C有最大值，最大值為10，

此時，點與點D重合；

（3）的面積是矩形MNHG面積的，

則，

連接DC，在CD得上下方等距離處作CD的平行線m、n，

過點P作y軸的平行線交CD、直線n于點H、G，即，

過點P作于點K，

將、坐標代入一次函數表達式并解得：

直線CD的表達式為：，

，∴，，

設點，則點，

，

解得：，

則，

解得：，

故點，

直線n的表達式為：…②，

聯立①②并解得：，

即點、的坐標分別為、；

故點P坐標為：或或．