Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，圓M經過原點O，直線y=﹣ x﹣6與x軸、y軸分別相交于A，B兩點．

（1）求出A，B兩點的坐標；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在圓M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數解析式；
（3）設（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得
S△PDE= S△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：對于直線y=﹣ x﹣6，

當x=0，y=﹣6；

當y=0，得0=﹣ x﹣6，解得x=﹣8．

故A（﹣8，0），B（0，﹣6）；

（2）

解：在Rt△AOB中，AB= =10，

∵∠AOB=90°，

∴AB為⊙M的直徑，

∴點M為AB的中點，M（﹣4，﹣3），

∵MC∥y軸，MC=5，

∴C（﹣4，2），

設拋物線的解析式為y=a（x+4）2+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x+4）2+2，即y=﹣ x2﹣4x﹣6，

（3）

解：存在．

如圖，

當y=0時，﹣ （x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣6，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

S△ABC=S△ACM+S△BCM= ×CM×8=20，

設P（t，﹣ x2﹣4x﹣6），

∵S△PDE= S△ABC，

∴ （﹣2+6）|﹣ t2﹣4t﹣6|= ×20，

即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1，

當﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+ ，t2=﹣4﹣ ，此時P點坐標為（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，﹣1）；

當﹣ t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+ ，t2=﹣4﹣ ，此時P點坐標為（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，1）．

綜上所述，P點坐標為（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，﹣1）或（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，1）時，使得S△PDE= S△ABC．

【解析】（1）根據一次函數與坐標軸交點坐標求法得出答案即可；（2）利用頂點式由B點坐標求出二次函數解析式即可；（3）首先求出△ABC的面積，進而求出D，E坐標，設P（t，﹣ x2﹣4x﹣6），根據S△PDE= S△ABC ， 得到|﹣ t2﹣4t﹣6|=1，分兩種情況討論即可求出P點坐標．
【考點精析】利用勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．