Question

【題目】已知：如圖，二次函數的圖象交軸于點和點（點在點左則），交軸于點，作直線是直線上方拋物線上的一個動點．過點作 直線平行于直線是直線 上的任意點，是直線上的任意點，連接，始終保持為，以和邊，作矩形．

（1）在點移動過程中，求出當的面積最大時點的坐標；在的面積最大 時，求矩形的面積的最小值．

（2）在的面積最大時，線段交直線于點，當點四個點組成平行 四邊形時，求此時線段與拋物線的交點坐標．

Answer 1

【答案】（1）點坐標為，矩形的最小值為；（2）交點坐標為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．

【解析】

（1）當△DEB的面積最大時，直線DN與拋物線相切，可求出直線DN的解析式和點D的坐標，當矩形面積最小時，MG最小，求出MG的最小值即可．

（2）分兩種情況討論，以DB為邊和以DB為對角線，分別求出此時ON的解析式，聯立求出交點坐標即可．

解：（1）如圖1所示，過點D作y軸的平行線交MB于點H，過點O作OQ垂直MB于點Q，

令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴A（﹣1，0），B（4，0），

令x＝0，y＝2，

∴E（0，2），

設直線BE的解析式為y＝kx+b，則

解得，

∴直線BE的解析式為y＝﹣x+2，

∵DN∥BE，

∴設直線DN的解析式為y＝﹣x+b1，

S△DEB＝DH（xB﹣xE），

∴當△DEB面積最大時，即是DH最大的時候，

∴﹣x+b1＝﹣x2+x+2，

△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，

解得b1＝4，點D（2，3），

S矩＝2S△MOG+S平形四邊形，

∴矩形面積最小時就是MG最小，

設QG＝m，MQ＝n，

∴MG＝m+n，

∵m+n≥2，

∵△QOG∽△MQO，

∴OQ2＝mn，

∵△OEQ∽△EOB，

∴OQ＝，

∴mn＝，

∴m+n的最小值為．

∴MG＝，

∴S矩＝2S△MOG+S平形四邊形＝．

（2）分兩種情況討論，

情況一：當GN∥DB時，

直線DB的解析式為：y＝﹣x+6，

則直線NG的解析式為y＝﹣x，

∴﹣x＝﹣x2+x+2，

解得x1＝3+，x2＝3﹣，

∴交點坐標為（3+，﹣），（3﹣，﹣），

情況二：DB為對角線時，此時NG必過DB的中點（3，），

設直線ON的解析式為y＝k1x，

則k1＝，

∴直線OD的解析式為y＝x，

＝﹣x2+x+2，

解得x1＝1﹣，x2＝1+，

∴交點坐標為（1﹣，），（1+，），

綜上所述：交點坐標為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．