Question

【題目】如圖①，半徑為R，圓心角為n°的扇形面積是S扇形=，由弧長l=，得S扇形==R=lR．通過觀察，我們發現S扇形=lR類似于S三角形=×底×高．
類比扇形，我們探索扇環（如圖②，兩個同心圓圍成的圓環被扇形截得的一部分交作扇環）的面積公式及其應用．

（1）設扇環的面積為S扇環 ， 的長為l1 ， 的長為l2 ， 線段AD的長為h（即兩個同心圓半徑R與r的差）．類比S梯形=×（上底+下底）×高，用含l1 ， l2 ， h的代數式表示S扇環 ， 并證明；
（2）用一段長為40m的籬笆圍成一個如圖②所示的扇環形花園，線段AD的長h為多少時，花園的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：S扇環=（l1﹣l2）h，

證明：設大扇形半徑為R，小扇形半徑為r，圓心角度數為n，則由l=，得R=，r=

所以圖中扇環的面積S=×l1×R﹣×l2×r

=l1﹣l2

=（l12﹣l22）

=（l1+l2）（l1﹣l2）

=（R+r）（l1﹣l2）

=（l1+l2）（R﹣r）

=（l1+l2）h，

故猜想正確．

（2）

解：根據題意得：l1+l2=40﹣2h，

則S扇環=（l1+l2）h

=（40﹣2h）h

=﹣h2+20h

=﹣（h﹣10）2+100

∵﹣1＜0，

∴開口向下，有最大值，

當h=10時，最大值是100，

即線段AD的長h為10m時，花園的面積最大，最大面積是100m2．

【解析】（1）根據扇形公式之間的關系，結合已知條件推出結果即可；
（2）求出l1+l2=40﹣2h，代入（1）的結果，化成頂點式，即可得出答案．