Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圓⊙O與邊AC相交于點F，過F作AB的垂線交AD于P，交AB于M，交⊙O于G，連接GE．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若tan∠G=，BE=4，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6；（3）

【解析】試題分析：（1）連結OD，根據AD是角平分線，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切線；

（2）構造直角三角形，根據勾股定理求出k的值即可；

（3）設FG與AE的交點為M，連結AG，利用三角函數和相似三角形結合勾股定理解題．

試題解析：（1）證明：連結OD．∵DE⊥AD，∴AE是⊙O的直徑，即O在AE上．

∵AD是角平分線，∴∠1=∠2．

∵OA=OD，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴OD∥AC．

∵∠C=90°，∴OD⊥BC．∴BC是⊙O的切線．

（2）解：∵OD∥AC，∴∠4=∠EAF．

∵∠G=∠EAF，∴∠4=∠G．

∴tan∠4=tan∠G=．

設BD=4k，則OD=OE=3k．

在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）2+（4k）2=（3k+4）2，

解得，k1=2，k2=（舍），（注：也可由OB=5k=3k+4得k=2），

∴3k=6，即⊙O的半徑為6．

　

（3）解：連結AG，則∠AGE=90°，∠EGM=∠5．

∴tan∠5=tan∠EGM=，即， ，

∴，

∴AM=AE==．

∵OD∥AC，∴， ，即， ．

∴AC=，CD=．

∵∠1=∠2，∠ACD=∠AMP=90°，∴△ACD∽△AMP．

∴，∴PM= =．

∴AP==．