Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，且AC=2，BD=2，各邊 中點分別為A1、B1、C1、D1，順次連接得到四邊形A1B1C1D1，再取各邊中點A2、B2、C2、D2，順次連接得到四邊形A2B2C2D2，…，依此類推，這樣得到四邊形AnBnCnDn，則四邊形AnBnCnDn的面積為_________

Answer 1

【答案】

【解析】根據三角形的面積公式，可以求得四邊形ABCD的面積是16；根據三角形的中位線定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，則△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即，因此四邊形A1B1C1D1的面積是四邊形ABCD的面積的，即a2；推而廣之，則AC=2，BD=2，四邊形AnBnCnDn的面積=．

解：∵四邊形A1B1C1D1的四個頂點A1、B1、C1、D1分別為AB、BC、CD、DA的中點，

∴A1B1∥AC，A1B1=AC．

∴△BA1B1∽△BAC．

∴△BA1B1和△BAC的面積比是相似比的平方，即．

又四邊形ABCD的對角線AC=2，BD=2，AC⊥BD，

∴四邊形ABCD的面積是2．

推而廣之，則AC=2，BD=2，四邊形AnBnCnDn的面積=．

“點睛”此題綜合運用了三角形的中位線定理、相似三角形的判定及性質．注意：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．