Question

【題目】如圖（1），點P是等腰三角形ABC底邊BC上的一動點，過點P作BC的垂線，交直線AB于點Q，交CA的延長線于點R．

（1）請觀察AR與AQ，它們相等嗎？并證明你的猜想．
（2）如圖（2）如果點P沿著底邊BC所在的直線，按由C向B的方向運動到CB的延長線上時，（1）中所得的結論還成立嗎？請你在圖（2）中完成圖形，并給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：AR=AQ．

理由如下：∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵PR⊥BC，

∴∠B+∠BQP=90°，

∠C+∠PRC=90°，

∴∠BQP=∠PRC，

∵∠BQP=∠AQR（對頂角相等），

∴∠AQR=∠PRC，

∴AR=AQ

（2）AR=AQ依然成立．

理由如下：如圖，∵△ABC是等腰三角形，

∴AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠ABC=∠PBQ（對頂角相等），

∴∠C=∠PBQ，

∵PR⊥BC，

∴∠R+∠C=90°，

∠Q+∠PBQ=90°，

∴∠Q=∠R，

∴AR=AQ．

【解析】（1）根據等腰三角形的性質求出∠B=∠C，根據等角的余角相等求出∠BQP=∠PRC，再根據對頂角相等可得∠BQP=∠AQR，從而得到∠AQR=∠PRC，然后根據等角對等邊證明即可；（2）根據等腰三角形的性質求出∠ABC=∠C，再根據對頂角相等可得∠ABC=∠PBQ，從而得到∠C=∠PBQ，然后根據等角的余角相等求出∠Q=∠R，最后根據等角對等邊證明即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．