Question

如圖，將一塊直角三角形紙板的直角頂點放在C（1，）處，兩直角邊分別與x，y軸平行，紙板的另兩個頂點A，B恰好是直線y=kx+與雙曲線y=（m＞0）的交點．

（1）求m和k的值；
（2）設雙曲線y=（m＞0）在A，B之間的部分為L，讓一把三角尺的直角頂點P在L上滑動，兩直角邊始終與坐標軸平行，且與線段AB交于M，N兩點，請探究是否存在點P使得MN=AB，寫出你的探究過程和結論．

Answer 1

（1）k=﹣且m=4 （2）不存在，理由見解析

試題分析：（1）由題意易知點A橫坐標為1，代入Y=，可用含m的代數式表示它的縱坐標；同理可表示點B坐標，再代入方程組即可求m和k的值；
（2）用反證法證明．假設存在，運用一元二次方程判別式即可解出．
解：（1）∵A，B在雙曲線y=（m＞0）上，AC∥y軸，BC∥x軸，
∴A，B的坐標分別（1，m），（2m，）．（1分）
又點A，B在直線y=kx+上，
∴（2分）
解得或（4分）
當k=﹣4且m=時，點A，B的坐標都是（1，，不合題意，應舍去；
當k=﹣且m=4時，點A，B的坐標分別為（1，4），（8，，符合題意．
∴k=﹣
且m=4．（5分）
（2）假設存在點P使得MN=AB．
∵AC∥y軸，MP∥y軸，
∴AC∥MP，
∴∠PMN=∠CAB，
∴Rt△ACB∽Rt△MPN，
∴，（7分）
設點P坐標為P（x，）（1＜x＜8），
∴M點坐標為M（x，﹣x+），
∴MP=﹣．
又∵AC=4﹣，
∴，即2x²﹣11x+16=0（※）（9分）
∵△=（﹣11）²﹣4×2×16=﹣7＜0．
∴方程（※）無實數根．
∴不存在點P使得MN=AB．（10分）
點評：此題難度中等，考查反比例函數的性質及坐標意義．解答此題時同學們要注意運用數形結合的思想．