Question

如圖，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，AB⊥x軸于點(diǎn)B，AC⊥y軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)D，使AD=AB，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AE=AC．直線DE分別交x軸于點(diǎn)P，Q．當(dāng)QE：DP=4：9時(shí)，圖中陰影部分的面積等于　　．

Answer 1

試題分析：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F．令A(yù)（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t，則圖中陰影部分的面積=△ACE的面積+△ABD的面積=t²+×，因此只需求出t²的值即可．先在直角△ADE中，由勾股定理，得出DE=，再由△EFQ∽△DAE，求出QE=，△ADE∽△GPD，求出DP=：，然后根據(jù)QE：DP=4：9，即可得出t²=．
解：解法一：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于點(diǎn)F．

令A(yù)（t，），則AD=AB=DG=，AE=AC=EF=t．
在直角△ADE中，由勾股定理，得DE==．
∵△EFQ∽△DAE，
∴QE：DE=EF：AD，
∴QE=，
∵△ADE∽△GPD，
∴DE：PD=AE：DG，
∴DP=．
又∵QE：DP=4：9，
∴=：=4：9，
解得t²=．
∴圖中陰影部分的面積=AC²+AB²=t²+×=+3=．
解法二：∵QE：DP=4：9，
設(shè)QE=4m，則DP=9m，
設(shè)FE=4t，則GP=9t，
∴A（4t，），
由AC="AE" AD=AB，
∴AE=4t，AD=，DG=，GP="9t"
∵△ADE∽△GPD，
∴AE：DG=AD：GP，
4t：=：9t，即t²=，
圖中陰影部分的面積=4t×4t+××=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．根據(jù)QE：DP=4：9，得出t²的值是解題的關(guān)鍵．