Question

【題目】數學課上，老師提出如下問題：已知點A，B，C是不在同一直線上三點，求作一條過點C的直線l，使得點A，B到直線l的距離相等.

小明的作法如下：

①連接AB；

②分別以A，B為圓心，以大于AB為半徑畫弧，兩弧交于M、N兩點；

③作直線MN，交線段AB于點O；

④作直線CO，則CO就是所求作的直線l.

老師肯定了小明的作法，根據上面的作法回答下列問題：

（1）小明利用尺規作圖作出的直線MN是線段AB的 ；點O是線段AB的 ；

（2）要證明點A，點B到直線l的距離相等，需要在圖中畫出必要的線段，請在圖中作出輔助線，并說明線段 的長是點A到直線l的距離，線段 的長是點B到直線l的距離；

（3）證明點A，B到直線l的距離相等.

Answer 1

【答案】（1）垂直平分線； 中點；（2）作圖見解析，AE， BF ；（3）見解析

【解析】

（1）根據基本作圖可判斷直線MN是線段AB的垂直平分線，則點O是線段AB的中點；

（2）利用基本作圖（過一點作已知直線的垂線），作點A作AE⊥l于點E，過點B作BF⊥l于點F；根據點到直線的距離可判斷線段AE 的長是點A到直線l的距離，線段BF 的長是點B到直線l的距離；

（3）證明△AEO≌△BFO即可得到AE＝BF.

解：（1）直線MN是線段AB的垂直平分線；點O是線段AB的中點；

（2）過點A作AE⊥l于點E，過點B作BF⊥l于點F；

線段AE 的長是點A到直線l的距離，

線段BF 的長是點B到直線l的距離；

（3）∵AE⊥l，BF⊥l，

∴∠AEO＝∠BFO＝90°

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AEO≌△BFO，

∴AE＝BF，即點A，B到直線l的距離相等.