Question

（11分）如圖，已知拋物線y=x²+bx+c經過A（-1，0）、B（4，5）兩點，過點B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點M的橫坐標．

Answer 1

（1）拋物線的解析式：y=x²-2x-3；
（2）；
（3）點M有4個，其橫坐標分別為： ,,,．

解析試題分析：（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c求出b和c的值即可；
（2）過點O作OH⊥AB，垂足為H，根據勾股定理可求出AB的長，進而得到：在Rt△BOH中，tan∠ABO= ．
（3）設點M的坐標為（x，x²-2x-3），點N的坐標為（x，x+1），在分兩種情況：當點M在點N的上方時和當點M在點N的下方時，則四邊形NMCB是平行四邊形討論求出符合題意的點M的橫坐標即可．
（1）將A（-1，0）、B（4，5）分別代入y=x²+bx+c，得 ，
解得b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式：y=x²-2x-3．
（2）在Rt△BOC中，OC=4，BC=5．
在Rt△ACB中，AC=AO+OC=1+4=5，
∴AC=BC．
∴∠BAC=45°，AB= ．
如圖，過點O作OH⊥AB，垂足為H．

在Rt△AOH中，OA=1，
∴AH=OH=OA×sin45°= ，
∴BH=AB-AH=，
在Rt△BOH中，．
（3）直線AB的解析式為：y=x+1．
設點M的坐標為（x，x²-2x-3），
點N的坐標為（x，x+1），
①如圖，當點M在點N的上方時，

則四邊形MNCB是平行四邊形，MN=BC=5．
由MN=（x²-2x-3）-（x+1）=x²-2x-3-x-1=x²-3x-4，
解方程x²-3x-4=5，
得 或．
②如圖，當點M在點N的下方時，則四邊形NMCB是平行四邊形，NM=BC=5．

由MN=（x+1）-（x²-2x-3）=x+1-x²+2x+3=-x²+3x+4，
解方程-x²+3x+4=5，
得 或．
所以符合題意的點M有4個，其橫坐標分別為： ,,,．
考點：二次函數綜合題.