Question

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC繞點A順時針旋轉到Rt△ADE的位置，點E在斜邊AB上，連結BD．過點D作DF⊥AC于點F．
（1）如圖1若點F與點A重合，求證：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，如圖2，當點F在線段CA的延長線上時，判斷線段AF與線段BE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋轉得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，從而得出∠ABC=45°，最后判斷出△ABC是等腰直角三角形；
（2）由旋轉得到∠BAC=∠BAD，再根據∠DAF=∠DBA，從而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可．

解答 解：（1）由旋轉得，∠BAC=∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴AC=CB，
（2）AF=BE，
理由：由旋轉得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠DAF=∠ABD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥BD，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠ABD=∠FAD
由旋轉得，∠BAC=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
由旋轉得，AB=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AD=BD，
在△AFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠BED=90°}\\{∠FAD=∠BED}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BED，
∴AF=BE．

點評 此題主要考查了，等腰直角三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，旋轉的性質，解本題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質．