Question

13．已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點P不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為E、F，點O為AC的中點．

（1）當點P與點O重合時如圖1，求證：OE=OF
（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當點P在對角線AC上時，且∠OFE=30°時，如圖2，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給予證明．
（3）當點P在對角線CA的延長線上時，且∠OFE=30°時，如圖3，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論即可．

Answer 1

分析 （1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．
（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．
（3）圖3中的結(jié)論為：CF=OE-AE，延長EO交FC的延長線于點G，證明方法類似．

解答 解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AEO和△CFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF．

（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE．
    圖3中的結(jié)論為：CF=OE-AE．
選圖2中的結(jié)論證明如下：
延長EO交CF于點G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO=∠GCO，
在△EOA和△GOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠GCO}\\{AO=OC}\\{∠AOE=∠COG}\end{array}\right.$，
∴△EOA≌△GOC（ASA），
∴EO=GO，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵EO=OG，
∴OE=OF=GO，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°-30°=60°，
∴△OFG是等邊三角形，
∴OF=GF，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG+CG，
∴CF=OE+AE．
選圖3的結(jié)論證明如下：
延長EO交FC的延長線于點G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠AEO=∠G，
在△AOE和△COG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠G}\\{∠AOE=∠GOC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OE=OG，AE=CG，
在Rt△EFG中，∵OE=OG，
∴OE=OF=OG，
∵∠OFE=30°，
∴∠OFG=90°-30°=60°，
∴△OFG是等邊三角形，
∴OF=FG，
∵OE=OF，
∴OE=FG，
∵CF=FG-CG，
∴CF=OE-AE．

點評 本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．