Question

8．如圖，直線l與⊙O相切于點A，AC為⊙O的直徑，AC=8，P是直徑AC右側半圓上的一個動點（不與點A、C重合），過點P作PB⊥l，垂足為B，連接PA、PC．設PA=x，PB=y．求：
（1）△APC與△APB相似嗎？為什么？
（2）求y與x的函數關系式； 
（3）當x為何值時，x-y取得最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質以及平行線的性質進而得出∠CAP=∠APB以及∠PBA=∠APC=90°，即可得出答案；
（2）根據相似三角形的性質即可得到結論；
（3）由$\frac{1}{8}$x²代替y，化為關于x的二次三項式，配方即可求得答案．

解答 解：（1）△APC∽△APB，
證明：∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑，
∴CA⊥l，∠CPA=90°，
又∵PB⊥l，
∴CA∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
又∵PB⊥l，
∴∠APB=90°，
∴∠CAP=∠ABP，
∴△APC∽△APB；

（2）∵△APC∽△APB，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{AP}$，
∴$\frac{x}{y}=\frac{8}{x}$．
∴y=$\frac{1}{8}$x²（0＜x＜8）；

（3）x-y=x-$\frac{1}{8}{x}^{2}$=-（$\frac{1}{8}$（x-4）²+2，
∴當x為4時，x-y取得最大值，最大值為2．

點評 此題主要考查了圓的綜合應用以及切線的性質和相似三角形的判定與性質等知識，求出∠CAP=∠APB是解題關鍵．