Question

【題目】在正方形ABCD中，E對角線AC上一點，連接DE.

（1）如圖1，若E為對角線AC中點，過點C、D分別作AC、DE的垂線相交于點F，連接AF，若AF＝10，求正方形ABCD的面積；

（2）如圖2，把△ADE繞點D順時針旋轉90°得到△CDF，連接AF，取AF的中點為M，連接DM，求證：4DM2+AE2＝2DF2.

Answer 1

【答案】）（1）40；（2）詳見解析

【解析】

（1）求正方形ABCD的面積，只需要先求出邊長，可設a，再將直角三角形ACF的兩條直角邊用a來表示，再用勾股定理即可列出關于a的方程，解出并計算面積即可；

（2）要求證，即證，由旋轉不變性知：,故只需證,由直角三角形知右式等于，故只需證明，而我們易得直角三角形,在這個三角形中，而由旋轉不變性知，故只需求證，過點做的平行線，構造平行線型全等，即可得到，故只需求證：，通過全等即可.

解：設正方形的邊長為a，則對角線，

又若E為對角線AC中點，

∴，

又∵，

∴四邊形是正方形，

∴

∵在中，，span>，，，

∴，解得，

即正方形的面積為40.

（2）過點做，交的延長線于點，延長交于點，連接；

∵，

∴∽,

∴,

又∵是的中點，

∴,

∴,

∴；

∵正方形,

∴；

∵△ADE繞點D順時針旋轉90°得到△CDF，

∴≌,,

∴，,,

∵,

∴,

∴,

又∵，

∴；

∵,,

∴；

∵在和中

∴≌ (SAS)；

∴，

又∵，

∴；

又∵,,在中，,在中，

∴，即.