Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c（a、b、c為常數，a≠0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．已知拋物線y=-與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側），與x軸負半軸交于點C．

（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為______，點A的坐標為______，點B的坐標為______．

（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x+；（-2，2）；（1，0）；（2）N點坐標為（0，2-3）或（，）

【解析】

（1）由“夢想直線”的定義可求得其解析式，聯立直線與拋物線的解析式可求得A,B的坐標；

（2）根據“夢想三角形”的定義，分當點N在y軸上時和當M點在y軸上時兩種情況討論即可.

解（1）由“夢想直線”的定義得，拋物線的“夢想直線”的解析式為y=-x+，

聯立夢想直線與拋物線解析式可得，解得或，

∴A（-2，2），B（1，0），

故答案為：y=-x+；（-2，2）；（1，0）；

（2）當點N在y軸上時，△AMN為夢想三角形，

如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，則AD=2，

在y=-x2-x+2中，令y=0可求得x=-3或x=1，

∴C（-3，0），且A（-2，2），

∴AC==，

由翻折的性質可知AN=AC=，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN==3，

∵OD=2，

∴ON=2-3或ON=2+3，

當ON=2+3時，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，

∴N點坐標為（0，2-3）；

當M點在y軸上時，則M與O重合，過N作NP⊥x軸于點P，如圖2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=2，

∴tan∠DAM==，

∴∠DAM=60°，

∵AD∥x軸，

∴∠AMC=∠DAO=60°，

又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，

∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，

∴MP=MN=，NP=MN=，

∴此時N點坐標為（，）；

綜上可知N點坐標為（0，2-3）或（，）；