Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求該拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）直線y＝﹣x﹣2與該拋物線在第四象限內交于點D，與x軸交于點F，連接AC，CD，線段AC與線段DF交于點G，求證：△AGF≌△CGD；

（3）直線y＝m（m＞0）與該拋物線的交點為M，N（點M在點N的左側），點M關于y軸的對稱點為點M′，點H的坐標為（1，0），若四邊形NHOM′的面積為，求點H到OM′的距離d．

Answer 1

【答案】(1) y＝x2﹣x﹣3,C(0,-3);(2)見解析;(3)

【解析】

（1）根據拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，可得拋物線的解析式；

（2）根據F（-2，0），A（-1，0），可得AF=1，再根據點D的坐標為（1，-3），點C的坐標為（0，-3），可得CD∥x軸，CD=1，再根據∠AFG=∠CDG，∠FAG=∠DCG，即可判定△AGF≌△CGD；

（3）根據軸對稱的性質得出OH=1=M'N，進而判定四邊形OM'NH是平行四邊形，再根據四邊形OM'NH的面積為，求得OP=，再根據點M的坐標為（，），得到PM'＝ Rt△OPM'中，運用勾股定理可得OM'=，最后根據OM'×d=，即可得到d=．

（1）∵拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點，

∴，

解得，

∴該拋物線的解析式y＝x2﹣x﹣3．

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3）；

（2）證明：∵直線EF的解析式為y＝﹣x﹣2，

∴當y＝0時，x＝﹣2，

∴F（﹣2，0），OF＝2，

∵A（﹣1，0），

∴OA＝1，

∴AF＝2﹣1＝1，

由解得，，

∵點D在第四象限，

∴點D的坐標為（1，﹣3），

∵點C的坐標為（0，﹣3），

∴CD∥x軸，CD＝1，

∴∠AFG＝∠CDG，∠FAG＝∠DCG，

在△AGF與△CGD中

∴△AGF≌△CGD（ASA）；

（3）∵拋物線的對稱軸為x＝﹣＝，直線y＝m（m＞0）與該拋物線的交點為M，N，

∴點M、N關于直線x＝對稱，

設N（t，m），則M（1﹣t，m），

∵點 M關于y軸的對稱點為點M'，

∴M'（t﹣1，m），

∴點M'在直線y＝m上，

∴M'N∥x軸，

∴M'N＝t﹣（t﹣1）＝1，

∵H（1，0），

∴OH＝1＝M'N，

∴四邊形OM'NH是平行四邊形，

設直線y＝m與y軸交于點P，

∵四邊形OM'NH的面積為，

∴OH×OP＝1×m＝，即m＝，

∴OP＝，

當x2﹣x﹣3＝時，

解得x1＝﹣，x2＝，

∴點M的坐標為（﹣，），

∴M'（，），即PM'＝，

∴Rt△OPM'中，OM'＝＝，

∵四邊形OM'NH的面積為 ，

∴OM'×d＝，

∴d＝．