Question

【題目】如圖，BC為⊙O的直徑，以BC為直角邊作Rt△ABC，∠ACB=90°，斜邊AB與⊙O交于點D，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，DG⊥BC于點F，交⊙O于點G．

（1）求證：AE=CE；

（2）若AD=4，AE=，求DG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 ；（2）

【解析】

（1）首先連接CD，由BC為⊙O的直徑，∠ACB=90°，可得AC是⊙O的切線．又由⊙O的切線DE交AC于點E，根據切線長定理，可得ED=EC，然后由等角的余角相等，證得∠A=∠2，即可得：AE=CE；

（2）首先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得AC長，然后由勾股定理，求得CD的長，再利用三角函數，求得DG的長．

解：（1）如圖，連接CD，

∵BC為⊙O的直徑，∠ACB=90°，

∴AC是⊙O的切線，

又∵DE與⊙O相切，

∴ED=EC，

∴∠1=∠3，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∵∠1+∠2=∠3+∠A=90°，

∴∠A=∠2，

∴ED=EA，

∴AE=CE；

（2）∵AE=，

∴AC=2AE=． 在Rt△ACD中，，

，

∵∠3+∠4=∠3+∠A=90°，

∴∠A=∠4，

，

，

∵DG⊥BC于點F，

∴DG=2DF=．