Question

【題目】如圖，菱形OABC，A點的坐標為（5，0），對角線OB、AC相交于D點，雙曲線y＝（x＞0）經過D點，交BC的延長線于E點，交AB于F點，連接OF交AC于M，且OBAC＝40．有下列四個結論：①k＝8；②CE＝1；③AC+OB＝6；④S△AFM：S△AOM＝1：3．其中正確的結論是（　　）

A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

首先過點D作DH⊥x軸于點H，由菱形OABC中，ACOB=40，可求得菱形OABC的面積，繼而求得△AOD的面積，則可求得高DH，然后由射影定理，可得DH2=OHAH，繼而求得①正確；過C作CG⊥x軸于點G，根據平行線等分線段定理和三角形的中位線的性質得到CG=2DH=4，AG=2AH=2，求得C（3，4），E（2，4），于是得到CE=1，故②正確；根據勾股定理得到AC+OB=6；故③正確；過F作FN⊥x軸于點N，設FN=4x，AN=3x，根據三角形的面積公式得到x=，根據相似三角形的性質得到，于是得到S△AFM：S△AOM=1：3，故④正確．

解：過點D作DH⊥x軸于點H，

∵菱形OABC中，ACOB＝40，

∴S菱形OABC＝ACOB＝20，

∴S△OAD＝S菱形OABC＝5，

∵S△OAD＝OADH，且OA＝5，

∴DH＝2，

∵DH2＝OHAH＝4，OH+AH＝5，

∴OH＝4，AH＝1，

∴點D（4，2），

∴k＝4×2＝8．故①正確；

過C作CG⊥x軸于點G，

∴DH∥CG，

∵AD＝CD，

∴CG＝2DH＝4，AG＝2AH＝2，

∴OG＝3，

∴C（3，4），

∴E（2，4），

∴CE＝1，故②正確；

∵CG＝4，AG＝2，

∴AC＝＝2，

∵DH＝2，OH＝4，

∴OD＝2，

∴OB＝4，

∴AC+OB＝6；故③正確；

過F作FN⊥x軸于點N，

∵OC∥AB，

∴∠COG＝∠FAN，

∴tan∠COG＝tan∠FAN＝＝＝，

設FN＝4x，AN＝3x，

∴S△OFN＝（5+3x）×4x＝4，

∴x＝，

∴FN＝，AN＝1，

∵△OCG∽△AFN，

∴＝3，

∵OC∥AF，

∴△AMF∽△CMO，

∴＝3，

∴S△AFM：S△AOM＝1：3，故④正確，

故選：D．