Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD

(1) 求證：E是OB的中點

(2) 若AB＝8，求CD的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4．

【解析】試題分析：（1）要證明：E是OB的中點，只要求證OE=OB=OC，即證明∠OCE=30°即可．

（2）在直角△OCE中，根據勾股定理就可以解得CE的長，進而求出CD的長．

（1）證明：連接AC，如圖

∵直徑AB垂直于弦CD于點E，

∴，

∴AC=AD，

∵過圓心O的線CF⊥AD，

∴AF=DF，即CF是AD的中垂線，

∴AC=CD，

∴AC=AD=CD．

即：△ACD是等邊三角形，

∴∠FCD=30°，

在Rt△COE中，，

∴，

∴點E為OB的中點；

（2）解：在Rt△OCE中，AB=8，

∴，

又∵BE=OE，

∴OE=2，

∴，

∴．