Question

【題目】如圖，拋物線經過兩點，與軸交于點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）已知點為軸上一點，點關于直線的對稱點為．

①當點剛好落在第四象限的拋物線上時，求出點的坐標；

②點在拋物線上，連接，是否存在點，使為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②存在，（3，0）或（0，-3）或（4，5）或（，）或（2，-3）．

【解析】

（1）由點A、B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；
（2）①可知△OBC為等腰直角三角形，求出點D′的縱坐標為-3，代入拋物線解析式可得CD=2，求出D點坐標；②可分別以P、D、D′為直角頂點畫圖，求出點P的坐標．

（1）∵拋物線經過兩點

∴

解得

所以，拋物線的解析式

（2）①當x=0時，y=x2-2x-3=-3，
∴C（0，-3），
∵B（3，0），
∴OB=OC=3，
∴△OBC為等腰直角三角形，∠OCB=45°，
如圖1，設D（0，t），

∵點關于直線的對稱點為, 連接

∴由對稱性可知：

∴軸

∴點的縱坐標為-3

當點在第四象限拋物線上時, 將代入，解得=2 , 或 =0 (舍去)

∴

∴

∴

②分別以P、D、D′為直角頂點畫圖：
如圖2，若以P為直角頂點，此時P與點B重合，則P（3，0），

如圖3，以P為直角頂點，此時點P與C重合，則P（0，-3），

如圖4以D為直角頂點，此時PC∥x軸，則P（2，-3），

如圖5，以D為直角頂點，此時PD′∥y軸，則P（4，5），

如圖6，以D′為直角頂點，此時PD∥x軸，則P（，），

綜上可得點P的坐標為（3，0）或（0，-3）或（4，5）或（，）或（2，-3）．