Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數的圖象經過點B,C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上.

（1）求二次函數的表達式；

（2）如圖1，連接DC,DB,設△BCD的面積為S,求S的最大值；

（3）如圖2，過點D作DM⊥BC于點M，是否存在點D，使得△CDM中的某個角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式為：；（2）4；（3）或.

【解析】

（1）先求得點B、C的坐標，再代入求得b、c的值，即可得二次函數的表達式；（2）過點作軸于點，交于點，過點作于點，設，則.用含有a的代數式表示出的長，再根據得到S與a的二次函數關系，利用二次函數的性質即可解答；（3）在x軸上取點K，使CK=BK，則∠OKC=2∠ABC，過點B作BQ∥MD交CD延長線于點Q，過點Q作QH⊥x軸于點H，分∠DCM=∠QCB=2∠ABC和∠CDM=∠CQB=2∠ABC兩種情況求點D的橫坐標即可.

（1）直線，當時，；當時，，

∴，.

∵二次函數的圖象經過，兩點，

∴解得

∴二次函數的表達式為：.

（2）過點作軸于點，交于點，過點作于點，

依題意設，則.

其中，

∴，

∴

，

，

，

，

，

.

∵，∴拋物線開口向下．

又∵，

∴當時，有最大值， ；

（3）或

在軸上取點，使，則.

過點作∥交延長線于點，過點作軸于點，

設點的坐標為，則，

.

在中，，解得.∴.

當時，

∴.

∴.

易證∽.

∴.

∴,.

∴.

∵，

∴直線的函數表達式為：.

由，解得：，（舍）.

∴點的橫坐標為2.

②當時，方法同①，可確定點的橫坐標為.