Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊△AB3C3；…，記△B1CB2的面積為S1，△B2C1B3的面積為S2，△B3C2B4的面積為S3，如此下去，則Sn=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】由AB1是邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出CB1的長，繼而可得△B1CB2是有一個角為30度的直角三角形，同理可知△B2C1B3、△B3C2B4、△B4C3B5、…、都是有一個角為30度的直角三角形，而且后一個的斜邊是前一個30度角所鄰的直角邊，由此即可求得Sn.

∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC，

∴∠C=60°，CB1=BB1=1，

又∵∠B1B2C=90°，∴∠CB1B2=30°,

∴CB2=，B1B2=，∴S1=，

同理，Rt△B2C1B3中，B2C1=B1B2=，∴C1B3=×=，B2B3=，

∴S2=，

同理，S3=

…，

∴Sn=，

故答案為：．