Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB上一點，連接CD，將CD繞點C 順時針旋轉90°至CE，連接AE．

（1）求證：△BCD≌△ACE；

（2）如圖2，連接ED，若CD=，AE=1，求AB的長；

（3）如圖3，若點F為AD的中點，分別連接EB和CF，求證：CF⊥EB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據旋轉的性質，利用SAS即可證明△BCD≌△ACE；

（2）由（1）可知AE=BD=1，證明∠EAD=90°，在Rt△ECD和Rt△EAD中，根據勾股定理，即可求得ED和AD，進而求得AB；

（3）過C作CG⊥AB于G，則AG=AB，再證明，，即可得出，且∠CGF=∠BAE=90°，證明出△CGF∽△BAE，得出∠FCG=∠ABE，即可證得∠ABE+∠CFG=90°，即CF⊥BE．

（1）由旋轉性質可得EC=DC，∠ECD=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）由（1）可知AE=BD=1，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，

∴∠EAD=90°，

∴，，

∴，

故答案為：；

（3）如圖，過C作CG⊥AB于G，則AG=AB，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴CG=AB，即，

∵點F為AD的中點，

∴FA=AD，

∴FG=AG﹣AF，

=AB﹣AD=(AB﹣AD)=BD，

由（1）可得：BD=AE，

∴FG=AE，即，

∴，

又∵∠CGF=∠BAE=90°，

∴△CGF∽△BAE，

∴∠FCG=∠ABE，

∵∠FCG+∠CFG=90°，

∴∠ABE+∠CFG=90°，

∴CF⊥BE．