Question

7．定義：點P為△ABC內部或邊上的點，若滿足△PAB、△PBC、△PAC至少有一個三角形與△ABC相似（點P不與△ABC頂點重合），則稱點P為△ABC的自相似點．
例如：如圖1，點P在△ABC的內部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，則△BCP∽△ABC，故點P為△ABC的自相似點．
在平面直角坐標系xOy中，
（1）點A坐標為（2，2$\sqrt{3}$），AB⊥x軸于B點，在E（2，1），F（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）這三個點中，其中是△AOB自相似點的是F，G（填字母）；
（2）若點M是曲線C：y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上的一個動點，N為x軸正半軸上一個動點；
①如圖2，k=3$\sqrt{3}$，M點橫坐標為3，且NM=NO，若點P是△MON的自相似點，求點P的坐標；
②若k=1，點N為（2，0），且△MON的自相似點有2個，則曲線C上滿足這樣條件的點M共有4個，請在圖3中畫出這些點（保留必要的畫圖痕跡）．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．只要證明△OBG∽△OAB，可得點F是自相似點，△FOB∽△BAO，可得點F是自相似點．
（2）①如圖2，過點M作MG⊥x軸于G點．由△P₁ON∽△NOM，△MP₂N∽△MNO，推出∠OP₁N=∠MNO=120°，∠MP₂N=∠MNO=120°，推出∠NP₁P₂=∠NP₂P₁=60°，推出△NP₁P₂是等邊三角形，推出OP₁=P₁P₂=P₂M，推出P₁的橫坐標為1，P₂的橫坐標為2，代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即可解決問題．
②以O為圓心2為半徑作圓交反比例函數于M₁，M₂，以N為圓心2為半徑作圓交反比例函數的圖象于M₃，M₄．滿足條件的點M有4個．

解答 解：（1）如圖1中，連接OF、OE、GB、FB，作GM⊥OB于M，FN⊥OB于N．

由題意可知點G在OA上，
∵tan∠AOB=$\frac{AB}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AOB=60°，
∵tan∠GBM=$\frac{GM}{BM}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠OBG=30°，
∴∠BOG=∠AOB，∠OBG=∠A，
∴△OBG∽△OAB，
∴點F是自相似點，
同理可得∠FON=∠A=30°，∠FBO=∠AOB=60°，
∴△FOB∽△BAO，
∴點F是自相似點，
故答案為F，G．

（2）①如圖2，過點M作MG⊥x軸于G點．

∵M點的橫坐標為3，
∴y=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴M（3，$\sqrt{3}$），
∴OM=2$\sqrt{3}$，∠MON=∠NMO=30°，∠ONM=120°，
直線OM的表達式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△MHG中，∠MGN=90°，MN²=MG²+NG²，
設NM=NO=m，則NG=3-m，
∴m²=（3-m）²+（$\sqrt{3}$）²，
∴ON=MN=m=2，
∵△P₁ON∽△NOM，△MP₂N∽△MNO，
∴∠OP₁N=∠MNO=120°，∠MP₂N=∠MNO=120°，
∴∠NP₁P₂=∠NP₂P₁=60°，
∴△NP₁P₂是等邊三角形，
∴OP₁=P₁P₂=P₂M，
∴P₁的橫坐標為1，P₂的橫坐標為2，代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
可得P₁（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P₂（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
綜上所述，P點坐標為（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$））或（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

②如圖3中，滿足條件的點M有4個．

以O為圓心2為半徑作圓交反比例函數于M₁，M₂，以N為圓心2為半徑作圓交反比例函數的圖象于M₃，M₄．
故答案為4．

點評 本題考查反比例函數綜合題、相似三角形的判定和性質、一次函數的應用、等腰三角形的性質和判定等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考壓軸題．