Question

19．如圖，已知在正三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，CA上，且CD=AE，AD與BE交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于點(diǎn)Q
（1）證明：∠CAD=∠EBA；
（2）求$\frac{QB}{PB}$的比值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形ABC為等邊三角形，得到三條邊和三個(gè)角相等，又根據(jù)CD=AE，利用SAS的方法得到△ACD與△ABE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠CAD等于∠EAB，
（2）又∠CAD加∠DAB等于60°，所以利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，得到∠BPQ等于60°，又BQ與AD垂直，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)即可求出所求的比值．

解答 證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB，∠C=∠CAB=60°，
在△ADC和△BEA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠C=∠CAB}\\{CD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△EBA（SAS），
∴∠CAD=∠EBA；
（2）由（1）得∠CAD=∠EBA，
又∠CAD+∠DAB=60°，
∴∠QPB=∠DAB+∠ABE=60°，
又BQ⊥AD，
∴△BPQ是直角三角形，
∴$\frac{QB}{PB}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 此題考查了等邊三角形的性質(zhì)及全等的證明方法，考查了三角形的外角定理及特殊角的三角函數(shù)值，屬于常考題型．