Question

【題目】四邊形一條對角線所在直線上的點，如果到這條對角線的兩端點的距離不相等，但到另一對角線的兩個端點的距離相等，則稱這點為這個四邊形的準等距點.如圖1，點P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點，PD＝PB，PA≠PC，則點P為四邊形ABCD的準等距點.

（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個準等距點.

（2）如圖3，在四邊形ABCD中，P是AC上的點，PA≠PC，延長BP交CD于點E，延長DP交BC于點F，且∠CDF＝∠CBE，CE＝CF.求證：點P是四邊形ABCD的準等距點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）根據菱形的性質，在菱形對角線上找出除中心外的任意一點即可；

（2）連接BD，先利用“角角邊”證明△DCF和△BCE全等，根據全等三角形對應邊相等可得CD=CB，再根據等邊對等角的性質可得∠CDB=∠CBD，從而得到∠PDB=∠PBD，然后根據等角對等邊的性質可得PD=PB，根據準等距點的定義即可得證．

(1)如圖2,點P即為所畫點. (答案不唯一)

(2)證明：連接DB，

在△DCF與△BCE中,

，

∴△DCF≌△BCE(AAS)，

∴CD=CB，

∴∠CDB=∠CBD.

∴∠PDB=∠PBD，

∴PD=PB，

∵PA≠PC

∴點P是四邊形ABCD的準等距點.