Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AE是弦，直線CG與⊙O相切于點C，CG∥AE，CG與BA的延長線交于點G，過點C作CD⊥AB于點D，交AE于點F．
（1）求證： ；
（2）若∠EAB=30°，CF=a，寫出求四邊形GAFC周長的思路．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，如圖．

∵直線CG與⊙O相切于點C，

∴CG⊥OC．

∵CG∥AE，

∴AE⊥OC．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴

（2）證明：解：連接AC，如圖．

由∠EAB=30°，CG∥AE，可得∠CGB=30°，

又由直線CG與⊙O相切于點C，∠AOC=60°，

可推出△AOC是等邊三角形，

由△AOC是等邊三角形，∠EAB=30°，CF=a，

可得∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF= ，

AD= ，

利用CG∥AE，可得到△ADF∽△GDC，從而推出AG= a，GC=3a．

故計算出四邊形GAFC的周長為5a+ a．

【解析】（1）連接OC，根據切線的性質得到CG⊥OC．根據垂徑定理即可得到結論；（2）連接AC，根據平行線的性質得到∠CGB=30°，推出△AOC是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠CAF=∠ACF=30°，CF=AF=a，DF= ，根據相似三角形的性質得到AG= a，GC=3a．于是得到結論．
【考點精析】利用垂徑定理和切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．