Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，F分別是AB，BC的中點，EF與BD交于點H．
（1）求證：△EDH∽△FBH；
（2）若BD=6，求DH的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD，E，是AB的中點，

∴DC= AB=EB，DC∥BE，

∴四邊形DCBE是平行四邊形，

∴FB∥DE，

∴△EDH∽△FBH

（2）解：由（1）知，BC∥DE，BC=DE，

∵FB= BC，

∴FB= DE．

∵△EDH∽△FBH，

∴ =2．

∵DH+HB=6，

∴DH=4

【解析】（1）先根據題意得出四邊形DCBE是平行四邊形，再由平行四邊形的性質得出FB∥DE，故可得出∠FBH=∠EDH，∠DEH=∠BFH，進而可得出結論；（2）先有平行四邊形的性質得出BC∥DE，BC=DE，再由△EDH∽△FBH可得出結論．
【考點精析】掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定與性質是解答本題的根本，需要知道連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．