Question

【題目】在水域上建一個演藝廣場，演藝廣場由看臺Ⅰ，看臺Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構成（如圖），看臺Ⅰ，看臺Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區域，且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，矩形表演臺BCDE 中，CD=10米，三角形水域ABC的面積為 平方米，設∠BAC=θ．
（1）求BC的長（用含θ的式子表示）；
（2）若表演臺每平方米的造價為0.3萬元，求表演臺的最低造價．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，

∴ （ ）2=3× （ ）2，∴AB= AC，

∵S△ABC= = AC2sinθ=400 ，

∴AC2= ，∴AB2= ，

在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2ABACcosθ= ，

∴BC=40 ．

（2）解：設表演臺的造價為y萬元，則y=120 ，

設f（θ）= （0＜θ＜π），則f′（θ）= ，

∴當0 時，f′（θ）＜0，當 時，f′（θ）＞0，

∴f（θ）在（0， ）上單調遞減，在（ ，π）上單調遞增，

∴當θ= 時，f（θ）取得最小值f（ ）=1，

∴y的最小值為120，即表演臺的最小造價為120萬元

【解析】（1）根據看臺的面積比得出AB，AC的關系，代入三角形的面積公式求出AB，AC，再利用余弦定理計算BC；（2）根據（1）得出造價關于θ的函數，利用導數判斷函數的單調性求出最小造價．