Question

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠BAC＝90°．動點P、Q同時從A、B兩點出發，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點停止運動．設點P的運動時間為ts，四邊形APQC的面積為ycm²．

（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形?
（2）①求y與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
②當t為何值時，y取得最小值？最小值為多少？
（3）設PQ的長為xcm，試求y與x的函數關系式．

Answer 1

（1）當t＝或時，△PBQ是直角三角形；（2）①y＝8－（0≤t≤4），②當t＝2時，y取得最小值，最小值是；（3）y．

試題分析：（1）分∠PQB＝90°和∠QPB＝90°兩種情況討論即可；
（2）根據三角形的面積公式列式y＝S_△ABC－S_△BPQ即得函數關系式，根據二次函數最值原理即可得出y取得最小值時t的值和y的最小值；
（3）把t²－4 t＝代入y＝8－化簡即可.
試題解析：（1）當t＝或時，△PBQ是直角三角形，理由如下：
∵BQ＝AP＝t， BP＝4－t，
∴①當∠PQB＝90°時，由得： t ＝4－t，解得：t＝；
②當∠QPB＝90°時，由得：，解得：t＝.
∴當t＝或時，△PBQ是直角三角形.
（2）①過P作PH⊥BC，在Rt△PHB中，BP＝4－t，PH＝，
∴S_△BPQ＝，
∴y＝S_△ABC－S_△BPQ＝8－.
由題意可知：0≤t≤4.
②y＝8－＝，
∴當t＝2時，y取得最小值，最小值是．

（3）在Rt△PQH中，PH＝（4－t），HQ＝（4－t）－t，
由PQ²＝ PH²＋HQ²，則x²＝〔（4－t）〕²＋〔（4－t）－t〕²
化簡得：x²＝（2＋）t ²－4（2＋）t＋16，∴ t²－4 t＝.
將t²－4t＝代入y＝8－，得y＝8＋·．