Question

平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-4ax+4a+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），OB=OC.

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線與拋物線在x軸下方交于點(diǎn)Q，試問線段PQ的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若此拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)M滿足∠AMC=45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

（1）y=x²-4x+3；（2）存在，；（3）（2，2-）或（2，2+）.

試題分析：（1）求出拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線求出a、c即可得解；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后表示出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）求出△ABC的外接圓的圓心D的坐標(biāo)，再求出外接圓的半徑，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方和上方兩種情況寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．
試題解析：：（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x=
∵點(diǎn)A（1，0），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
∵點(diǎn)C在y軸的正半軸，OB=OC，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴，
解得，
∴此拋物線的解析式y(tǒng)=x²-4x+3；
（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則
，
解得，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x-）²+，
∵點(diǎn)Q在x軸下方，
∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴當(dāng)x=時(shí)，PQ的長(zhǎng)度有最大值；
（3）如圖，設(shè)△ABC的外接圓的圓D，

則點(diǎn)D在對(duì)稱性直線x=2上，也在直線BC的垂直平分線y=x上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2），
∴外接圓的半徑為，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°時(shí)，點(diǎn)M為⊙D與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，
點(diǎn)M在點(diǎn)D的下方時(shí)，M₁（2，2-），
點(diǎn)M在點(diǎn)D的上方時(shí)，M₂（2，2+），
綜上所述，M（2，2-）或（2，2+）時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸上的點(diǎn)M滿足∠AMC=45°．
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.