Question

如圖，拋物線過x軸上兩點A(9,0),C(-3,0),且與y軸交于點B(0,-12).

（1）求拋物線的解析式；
（2）若動點P從點A出發，以每秒2個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發，以每秒1個單位沿射線BA方向運動，當點P到達點C處時，兩點同時停止運動.問當t為何值時，△APQ∽△AOB？
（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．
①是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
②當點M運動到何處時，四邊形CBNA的面積最大？求出此時點M的坐標及四邊形CBNA面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）①不存在；②當點M運動到（，－6）時，四邊形CBNA的面積最大，四邊形CBNA面積的最大值為．

試題分析：（1）應用待定系數法，設交點式求解；
（2）根據相似三角形的性質求解即可；
（3）①由MN＝OB＝12列式，根據一元二次方程根的判別式小于0得出不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形結論；②求出面積關于x的二次函數關系式，應用二次函數最值原理求解即可.
試題解析：（1）因拋物線過x軸上兩點A(9,0),C(-3,0)，故設拋物線解析式為：.
又∵B(0,-12) ∴ ，解得a=。
∴拋物線的解析式為.
（2）∵OA=9，OB=12，∴AB=15.
∵點P的速度是每秒2個單位，點Q的速度是每秒1個單位，∴AP＝2t，AQ＝15－t.
又∵AC=12，∴0≤t≤6.
∵△APQ∽△AOB，∴，即，解得.
∴當時，△APQ∽△AOB.
（3）易求直線AB的函數關系式為．
設點M的橫坐標為x，則M（x，），N（x，）．
①若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN＝OB＝12
∴，即x²－9x＋27＝0.
∵△＜0，∴此方程無實數根.
∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．
②∵S_{四邊形CBNA}=S_△ACB+S_△ABN="72+" S_△ABN
∵S_△AOB＝54，S_△OBN＝6x，S_△OAN＝·9·＝－2x²＋12x＋54
∴S_△ABN＝S_△OBN＋S_△OAN－S_△AOB＝6x＋(－2x²＋12x＋54)－54＝－2x²＋18x＝.
∴當x＝時，S_△ABN最大值＝，此時M（，－6）
S_{四邊形CBNA}最大=．