Question

在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=-x²+(m-1)x+4m的圖象與x軸負半軸交于點A，與y軸交于點B（0，4），已知點E（0，1）．

（1）求m的值及點A的坐標；
（2）如圖，將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連結A′B、BE′．
①當點E′落在該二次函數的圖象上時，求AA′的長；
②設AA′=n，其中0＜n＜2，試用含n的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值時點E′的坐標；
③當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標．

Answer 1

（1）m="1,A(-2,0);" (2)①,②點E′的坐標是（1，1）,③點E′的坐標是（，1）．

試題分析：(1)將點代入解析式即可求出m的值，這樣寫出函數解析式，求出A點坐標；
（2）①將E點的坐標代入二次函數解析式，即可求出AA′；②連接EE′，構造直角三角形，利用勾股定理即可求出A′B²+BE′² 當n=1時，其最小時，即可求出E′的坐標；③過點A作AB′⊥x軸，并使AB′ =" BE" = 3．易證△AB′A′≌△EBE′，當點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B + B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．易證△AB′A′∽△OBA′，由相似就可求出E′的坐標
試題解析：
解：（1）由題意可知4m=4，m=1．
∴二次函數的解析式為．
∴點A的坐標為（-2,0）．
（2）①∵點E（0,1），由題意可知，
．
解得．
∴AA′=．
②如圖，連接EE′．

由題設知AA′=n（0＜n＜2），則A′O=2-n．
在Rt△A′BO中，由A′B²=A′O²+BO²，
得A′B²=(2–n)²+4²=n²-4n+20．
∵△A′E′O′是△AEO沿x軸向右平移得到的，
∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．
∴∠BEE′=90°，EE′=n．
又BE=OB-OE=3.
∴在Rt△BE′E中，BE′²=E′E²+BE²=n²+9，
∴A′B²+BE′²=2n²-4n+29=2(n–1)²+27．
當n=1時，A′B²+BE′²可以取得最小值，此時點E′的坐標是（1，1）．
③如圖，過點A作AB′⊥x軸，并使AB′=BE=3．
易證△AB′A′≌△EBE′，
∴B′A′=BE′，
∴A′B+BE′=A′B+B′A′．
當點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值．
易證△AB′A′∽△OBA′，
∴，
∴AA′=，
∴EE′=AA′=，
∴點E′的坐標是（，1）．