Question

【題目】閱讀下面材料：

小明觀察一個由1×1正方形點陣組成的點陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個相鄰點間的距離都是1．他發現一個有趣的問題：對于圖中出現的任意兩條端點在點陣上且互相不垂直的線段，都可以在點陣中找到一點構造垂直，進而求出交點與垂足之間的數值．

請回答：

（1）如圖1，A、B、C是點陣中的三個點，請在點陣中找到點D，作出線段CD，使得CD⊥AB；

（2）如圖2，線段AB與CD交于點O，小明在點陣中找到了點E，連接AE．恰好滿足AE⊥CD于E，再作出點陣中的其它線段，就可以構造相似三角形，經過推理和計算能夠使問題得到解決．

請你幫小明計算：OC＝　 　OF＝　 　；

參考小明思考問題的方法，解決問題：

（3）如圖3，線段AB與CD交于點O．在點陣中找到點E，連接AE，滿足AE⊥CD于F．計算： OC＝　 　，OF＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），；（3），．

【解析】

（1）利用數形結合的思想解決問題即可．

（2）利用相似三角形的性質解決問題即可．

（3）構造相似三角形解決問題即可．

（1）如圖線段CD即為所求．

（2）連接AC，BD．

由題意AC＝2，DB＝3，CD＝＝2，

∵AC∥BD，

∴△ACO∽△BDO，

∴，

∴OC＝CD＝，

∵AC∥DE，

∴△ACF∽△EDF，

∴＝1，

∴DF＝CF＝，

∴OF＝CF﹣OC＝﹣＝．

故答案為，．

（3）如圖3中，線段AE即為所求．

連接BC，作AM∥BC交CD于M．

由題意：BC＝1，AM＝2.5，CD＝2，DF＝CF＝，CM＝，

∵BC∥AM，

∴△BOC∽△AOM，

∴，

∴OC＝CM＝．

∴OF＝CF﹣OC＝＝．

故答案為，．