Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A，B，C，已知點A和C的坐標分別是（﹣4，0）和（0，4），點P在拋物線y＝﹣x2+bx+c上．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖2，當點P在線段AC的上方，點P的橫坐標記為t，過點P作PM⊥AC于點M，當PM＝時，求點P的坐標；

（3）若點E是拋物線對稱軸上與點D不重合的一點，F是平面內的一點，當四邊形CPEF是正方形時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4，(﹣，)；（2）(﹣2，16﹣7)；（3）點P坐標為(，)

【解析】

（1）根據題意直接將A、C點坐標代入二次函數表達，即可求解；

（2）由題意求出PE＝＝PM＝2，即可求解；

（3）根據題意分當CE為正方形一條邊、CE為正方形的對角線兩種情況，求解即可．

解：（1）將A、C點坐標代入二次函數表達式得：，解得：，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣3x+4，

則點D的坐標為（﹣，）；

（2）設：直線AC的表達式為：y＝kx+4，

將點A坐標代入上式得：0＝﹣4k+4，解得：k＝1，

則直線AC的表達式為：y＝x+4，

過點P作y軸的平行線，交AC于點EM，

∵OA＝OC，∴∠CAB＝45°，則∠EPM＝45°，

∴PE＝＝PM＝2，

設：點P坐標為（x，﹣x2﹣3x+4），則點E坐標為（x，x+4），

PE＝﹣x2﹣3x+4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x＝2，

解得：x＝﹣2±（舍去﹣2﹣），

則點P的坐標為（﹣2，16﹣7）；

（3）當點P′在對稱軸左側時（左側圖），

同①所證，設CH＝a，則點P′坐標為（﹣a﹣，4﹣a），

將點P′坐標代入二次函數表達式并解得：a＝（負值已舍去），

點P′的坐標為（，），

同理當點P′′在對稱軸右側時（右側圖），

點P″的坐標為（﹣1，）或（，）．

備注：本題如果是這樣表述：當四邊形C，P，E，F是正方形時，求點P的坐標．

則需要考慮：CE為正方形一條邊時，

過點E作EG⊥y軸，交y軸于點G，

∠ECG+∠PCG＝90°，∠CEG+∠ECG＝90°，∴∠CEG＝∠PGC，

而∠EGC＝∠CPF＝90°，EC＝PC，∴△ECG≌△CPH，

∴EG＝CH＝，則點P坐標為（，）．