Question

【題目】如圖，△AOB和△ACD是等邊三角形，其中AB⊥x軸于E點，點E坐標為(3，0)，點C(5，0)．

(1)如圖①，求BD的長；

(2)如圖②，設BD交x軸于F點，求證：∠OFA=∠DFA．

Answer 1

【答案】（1）BD=5；（2）證明見解析．

【解析】

（1）先由等邊三角形的性質得出OA=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°進而得出∠OAC=∠BAD，即可判斷出△AOC≌△ABD即可得出結論；

（2）借助（1）得出的△AOC≌△ABD，得出∠ABD=∠AOC=30°，進而求出∠BFO=60°，再判斷出，△AOF≌△BOF即可求出∠OFA=∠DFA=60°．

（1）∵點C（5，0）．

∴OC=5，

∵△AOB和△ACD是等邊三角形，

∴OA=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中，

，

∴△AOC≌△ABD，

∴BD=OC=5；

（2）∵△AOB是等邊三角形，且AB⊥x軸于E點，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

由（1）知，△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=30°，

∴∠BFO=90°-∠ABD=60°，

在△AOF和△BOF中，

，

∴△AOF≌△BOF，

∴∠AFO=∠BFO=60°，

根據平角的定義得，∠DFA=180°-∠AFO-∠BFO=60°，

∴∠OFA=∠DFA．