Question

【題目】如圖，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，D是BC邊的中點.

(1)若E在直角邊AB上運動，F在直角邊AC上運動，在運動過程中始終保持BE＝AF.則△EDF_____是三角形.

(2)在(1)的條件下，四邊形AEDF的面積是否發生變化？若不變化，請直接寫出當AB＝4時，四邊形AEDF的面積；若變化，請說明理由.

(3)若E，F分別為AB，CA延長線上的點，且BE＝AF，其他條件不變，那么(1)中的結論是否還成立？畫圖并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)等腰直角；(2)四邊形AEDF面積不變；(3)成立，證明見解析.

【解析】

(1)題要通過構建全等三角形來求解.連接AD，可通過證△ADF和△BDE全等來求本題的結論.

(2)題可把將四邊形AEDF的面積分成△ADF和ADE的面積和求解，由(1)證得△ADF和△BDE全等，因此四邊形AEDF的面積可轉化為△ABD的面積，由此得證.

(3)與(1)題的思路和解法一樣.

(1)證明：如圖1中，連接AD.

∵AB＝AC，∠A＝90°，D為BC中點

∴AD＝＝BD＝CD

且AD平分∠BAC

∴∠BAD＝∠CAD＝45°

在△BDE和△ADF中， ，

∴△BDE≌△ADF(SAS)

∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF

∵∠BDE+∠ADE＝90°

∴∠ADF+∠ADE＝90°

即：∠EDF＝90°

∴△EDF為等腰直角三角形.

故答案為等腰直角.

(2)解：四邊形AEDF面積不變.

理由：∵由(1)可知，△AFD≌△BED，

∴S△BDE＝S△ADF，

而S四邊形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD

∴S四邊形AEDF不會發生變化.

(3)解：仍為等腰直角三角形.

理由：如圖2中，連接AD.

∵△AFD≌△BED，

∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，

∵∠ADF+∠FDB＝90°，

∴∠BDE+∠FDB＝90°，

即：∠EDF＝90°，

∴△EDF為等腰直角三角形.