Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸相交于點，與軸交于點．拋物線經過點和點，并與軸相交于另一點，對稱軸與軸相交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）求證：；

（3）如果點在線段上，且，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）P(，)

【解析】

（1）利用一次函數，先用含有b的式子表示出A、B兩點的坐標，然后代入二次函數可求得b和a的值；

（2）利用兩個三角形夾角相等，且夾邊成比例證明；

（3）先利用△BCP∽△BAC得到BP的長，再利用△BOA∽△BHP得到點P的橫坐標，同理得到縱坐標.

（1）∵一次函數為與軸相交于點，與軸交于點

∴A(－2b，0)，B(0，－b)

將點B代入拋物線得：－b=4，解得：b=－4

∴A(8，0)，B(0，4)

將點A代入拋物線得：0=64a－32a+4，解得：a=

∴拋物線解析式為：

（2）∵拋物線為

∴對稱軸為：x=

∴D(2，0)，圖形如下：

根據坐標關系得：OD=2，OA=8，OB=4

∵∠BOD=∠BOA

又∵

∴

（3）圖形如下，連接CP：

∵△BOD∽△AOB

設∠OBD=∠BAO=a，則∠BCP=∠DBO=a

∴∠BCP=∠BAO=a

∵∠CBP=∠CBA

∴△BCP∽△BAC

∴

∵B(0，4)，C(－4，0)，A(8，0)

∴根據勾股定理：BC=4，AB=4

∴BP=

過點P作x軸的平行線交y軸于點H

∵PH∥x軸

∴，解得：PH=，即點P的橫坐標為

同理可得點P的縱坐標為

∴P(，)