Question

【題目】如圖，是的直徑，弦于點；點是延長線上一點，，．

（1）求證：是的切線；

（2）取的中點，連接，若的半徑為2，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接OE，OF，由垂徑定理和圓周角定理得到∠DOF＝∠DOE．而∠DOE＝2∠A，得出∠DOF＝2∠A，證出∠OFD＝90°．即可得出結論；

（2）連接OM，由垂徑定理和勾股定理進行計算即可．

（1）連接OE，OF，如圖1所示：

∵EF⊥AB，AB是⊙O的直徑，

∴，

∴∠DOF＝∠DOE，

∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，

∴∠DOF＝60°，

∵∠D＝30°，

∴∠OFD＝90°．

∴OF⊥FD．

∴FD為⊙O的切線；

（2）連接OM．如圖2所示：

∵O是AB中點，M是BE中點，

∴OM∥AE．

∴∠MOB＝∠A＝30°．

∵OM過圓心，M是BE中點，

∴OM⊥BE．

∴MB＝OB＝1，OM＝=．

∵∠DOF＝60°，

∴∠MOF＝90°．

∴MF＝．