Question

【題目】綜合與實踐

在數學活動課上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，在中，，，，點為邊上的任意一點．將沿過點的直線折疊，使點落在斜邊上的點處．問是否存在是直角三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出此時的長度．

探究展示：勤奮小組很快找到了點、的位置．

如圖2，作的角平分線交于點，此時沿所在的直線折疊，點恰好在上，且，所以是直角三角形．

問題解決:

（1）按勤奮小組的這種折疊方式，的長度為 ．

（2/span>）創新小組看完勤奮小組的折疊方法后，發現還有另一種折疊方法，請在圖3中畫出來．

（3）在（2）的條件下，求出的長．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由勾股定理可求AB的長，由折疊的性質可得AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，由勾股定理可求解；
（2）如圖所示，當DE∥AC，∠EDB=∠ACB=90°，即可得到答案；
（3）由折疊的性質可得CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，可得DE=CD=CF=EF，通過證明△DEB∽△CAB，可得 ，即可求解．

（1）∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴，
由折疊的性質可得：△ACD≌△AED，
∴AC=AE=6，CD=DE，∠C=∠BED=90°，
∴BE=10-6=4，
∵BD2=DE2+BE2，
∴（8-CD）2=CD2+16，
∴CD=3，
故答案為：3；
（2）如圖3，當DE∥AC，△BDE是直角三角形，

（3）∵DE∥AC，
∴∠ACB=∠BDE=90°，
由折疊的性質可得：△CDF≌△EDF，
∴CF=EF，CD=DE，∠C=∠FED=90°，∠CDF=∠EDF=45°，
∴EF=DE，
∴DE=CD=CF=EF，
∵DE∥AC，
∴△DEB∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，
∴