Question

【題目】已知：如圖（1），射線AM∥射線BN，AB是它們的公垂線，點D、C分別在AM、BN上運動（點D與點A不重合、點C與點B不重合），E是AB邊上的動點（點E與A、B不重合），在運動過程中始終保持DE⊥EC．

（1）求證：△ADE∽△BEC；

（2）如圖（2），當點E為AB邊的中點時，求證：AD+BC=CD；

（3）當 AD+DE=AB=時．設AE=m，請探究：△BEC的周長是否與m值有關？若有關，請用含有m的代數式表示△BEC的周長；若無關，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）的周長與m值無關，理由詳見解析．

【解析】

（1）由直角梯形ABCD中∠A為直角，得到三角形ADE為直角三角形，可得出兩銳角互余，再由DE與EC垂直，利用垂直的定義得到∠DEC為直角，利用平角的定義推出一對角互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得證；

（2）延長DE、CB交于F，證明△ADE≌△BFE，根據全等三角形的性質得到DE=FE，AD=BF由CE⊥DE，得到直線CE是線段DF的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質得DC=FC．即可得到結論；

（3）△BEC的周長與m的值無關，理由為：設AD=x，由AD+DE=a，表示出DE．在直角三角形ADE中，利用勾股定理列出關系式，整理后記作①，由AB﹣AE=EB，表示出BE，根據（1）得到：△ADE∽△BEC，由相似得比例，將各自表示出的式子代入，表示出BC與EC，由EB+EC+BC表示出三角形EBC的周長，提取a﹣m后，通分并利用同分母分式的加法法則計算，再利用平方差公式化簡后，記作②，將①代入②，約分后得到一個不含m的式子，即周長與m無關．

（1）∵直角梯形ABCD中，∠A=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠AED+∠BEC=90°，

∴∠ADE=∠BEC，

又∵∠A=∠B=90°，

∴△ADE∽△BEC；

（2）延長DE、CB交于F，如圖2所示．

∵AD∥BC，

∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F．

∵E是AB的中點，

∴AE=BE．

在△ADE和△BFE中，∵∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，AE=BE，

∴△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，AD=BF．

∵CE⊥DE，

∴直線CE是線段DF的垂直平分線，

∴DC=FC．

∵FC=BC+BF=BC+AD，

∴AD+BC=CD．

（3）△BEC的周長與m的值無關，理由為：

設AD=x，由AD+DE=AB=a，得：DE=a﹣x．

在Rt△AED中，根據勾股定理得：AD2+AE2=DE2，即x2+m2=(a﹣x)2，

整理得：a2﹣m2=2ax，…①

在△EBC中，由AE=m，AB=a，得：BE=AB﹣AE=a﹣m．

∵由（1）知△ADE∽△BEC，

∴，即，

解得：BC，EC，

∴△BEC的周長=BE+BC+EC=(a﹣m)

=(a﹣m)(1)=(a﹣m)

，…②

把①代入②得：△BEC的周長=BE+BC+EC2a，

則△BEC的周長與m無關．