Question

【題目】如圖，點是的角平分線上一點，于點，點是線段上一點．已知，，點為上一點．若滿足，則的長度為（ ）

A.3B.5C.5和7D.3或7

Answer 1

【答案】D

【解析】

過點P作PE⊥AO于E，根據角平分線的性質和定義可得PE=PN，∠POE=∠PON，∠PEO=∠PNO=90°，再根據角平分線的性質可得OE=ON=5，然后根據點D與點E的先對位置分類討論，分別畫出對應的圖形，利用HL證出Rt△PDE≌Rt△PMN，可得DE=MN，即可求出OD．

解：過點P作PE⊥AO于E

∵OC平分∠AOB，，

∴PE=PN，∠POE=∠PON，∠PEO=∠PNO=90°

∴∠OPE=90°－∠POE=90°－∠PON=∠OPN

∴PO平分∠EPN

∴OE=ON=5

①若點D在點E左下方時，連接PD，如下圖所示

在Rt△PDE和Rt△PMN中

∴Rt△PDE≌Rt△PMN

∴DE=MN

∵MN=ON－OM=2

∴DE=2

∴OD=OE－DE=3

②若點D在點E右上方時，連接PD，如下圖所示

在Rt△PDE和Rt△PMN中

∴Rt△PDE≌Rt△PMN

∴DE=MN

∵MN=ON－OM=2

∴DE=2

∴OD=OE＋DE=7

綜上所述：OD=3或7．

故選D．