Question

【題目】對于鈍角β，定義它的三角函數值如下：

sinβ=sin（180°﹣β），cosβ=﹣cos（180°﹣β），tanβ=﹣tan（180°﹣β）．

（1）求sin120°，cos135°，tan150°的值；

（2）若一個三角形的三個內角的比是1：1：4，A，B是這個三角形的兩個頂點，sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的兩個不相等的實數根，求a、b的值及∠A和∠B的大小．

Answer 1

【答案】（1），，-（2）當A=B=30°時，a=﹣，b=﹣2﹣；當A=30°、B=120°時，a=4，b=0

【解析】

（1）根據給定鈍角的三角函數值，代入數據，即可求出結論；
（2）根據三角形的內角和定理以及三個角的比例可得出三角形的三個內角，分①A=B=30°；②A=30°、B=120°；③A=120°、B=30°．三種情況考慮，根據特殊角的三角函數值找出sinA、cosB的值，再根據根與系數的關系找出關于a、b的二元一次方程組，解方程組即可得出結論．

（1）sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=；

cos135°=﹣cos（180°﹣135°）=﹣cos45°=﹣；

tan150°=﹣tan（180°﹣150°）=﹣tan30°=﹣．

（2）∵一個三角形的三個內角的比是1：1：4，且三角形的內角和為180°，

∴三角形的三個內角為30、30、120．

①當A=30°、B=30°時，sinA=，cosB=，

∵sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的兩個不相等的實數根，

∴ ，

解得：a=﹣，b=﹣2﹣；

②當A=30°、B=120°時，sinA=，cosB=﹣，

∵sinA，cosB是方程ax2﹣bx﹣1=0的兩個不相等的實數根，

∴，

解得：a=4，b=0；

③當A=120°、B=30°時，sinA=，cosB=，

此時sinA=cosB，不滿足題意．

綜上可知：當A=B=30°時，a=﹣，b=﹣2﹣；當A=30°、B=120°時，a=4，b=0．