Question

【題目】(1)方法回顧：在學習三角形中位線時，為了探索三角形中位線的性質，思路如下：

第一步添加輔助線：如圖1，在中，延長（分別是的中點）到點，使得，連接；

第二步證明，再證四邊形是平行四邊形，從而得出三角形中位線的性質結論：____________________________________（請用DE與BC表示）

（2）問題解決：如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF的長．

（3）拓展研究：如圖3，在四邊形ABCD中，∠A＝105°，∠D＝120°，E為AD的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若AG＝，DF＝2，∠GEF＝90°，求GF的長．

Answer 1

【答案】DE∥BC，DE=BC．

【解析】分析：（1）直接得出結論即可；

（2）延長GE、FD交于點H，可證得△AEG≌△DEH，結合條件可證明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的長；

（3）過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結合條件可得到△HPD為等腰直角三角形，可求得PF的長．在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長．

詳解：（1）DE∥BC，DE=BC；

（2）如圖2，延長GE、FD交于點H，

∵E為AD中點，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中，

∵∠A=∠EDH，EA=ED，∠AEG=∠HED，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH．

∵∠GEF=90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如圖3，過點D作AB的平行線交GE的延長線于點H，過H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，

∴∠A=∠HDE=105°，AG=HD=3．

∵∠ADC=120°，

∴∠HDF=360°﹣105°﹣120°=135°，

∴∠HDP=45°，

∴△PDH為等腰直角三角形，

∴PD=PH=1．

∵DF＝2，

∴PF=PD+DF=1+2=3，

∴GF=HF=．