Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A1BC1 ．

（1）如圖1，當點C1在線段CA的延長線時，求∠CC1A1的度數；
（2）已知AB=6，BC=8，
①如圖2，連接AA1 ， CC1 ， 若△CBC1的面積為16，求△ABA1的面積；
②如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應是點P1 ， 直接寫出線段EP1長度的最大值．
（3）線段EP1長度的最大值為11，理由如下：

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得：△A1C1B≌△ACB，

∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°，

∴∠BC1C=∠C=30°，

∴∠CC1A1=60°

（2）

解：如圖2所示：

由（1）知：△A1C1B≌△ACB，

∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，

∴∠1=∠2， = = ，

∴△A1BA∽△C1BC，

∴ =（ ）2，

∵△CBC1的面積為16，

∴△ABA1的面積=9

（3）

如圖3所示：當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，

最大值為：EP1=BC+BE=8+3=11．

即線段EP1長度的最大值為11．

【解析】（1）由旋轉的性質可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1 ， 又由等腰三角形的性質，即可求得∠CC1A1的度數；（2）①由△ABC≌△A1BC1 ， 易證得△ABA1∽△CBC1 ， 然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面積；②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值．
【考點精析】利用相似三角形的判定和旋轉的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）；①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．