Question

【題目】綜合與實踐

折紙是同學們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數學知識．折一折：把邊長為的正方形紙片對折，使邊與重合，展開后得到折痕．如圖①：點為上一點，將正方形紙片沿直線折疊，使點落在上的點處，展開后連接，，，如圖②

圖① 圖②

（一）填一填，做一做：

（1）圖②中，_______．線段 _______．

（2）圖②中，試判斷的形狀，并給出證明．

剪一剪、折一折：將圖②中的剪下來，將其沿直線折疊，使點落在點處，分別得到圖③、圖④．

（二）填一填

圖③ 圖④

（3）圖③中陰影部分的周長為_______．

（4）圖③中，若，則_______°．

（5）圖③中的相似三角形（包括全等三角形）共有_______對；

（6）如圖④點落在邊上，若_______，則_______用含，的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1），（2）是等邊三角形（3）；（4）（5）（6）

【解析】

（1）由折疊的性質得，四邊形是矩形，得出，，，由折疊的性質得出，，得出，得出，，因此，；

（2）證明得出，即可得出是等邊三角形；

（3）由折疊的性質得出，，得出圖③中陰影部分的周長的周長；

（4）由折疊的性質得出，，求出，得出，即可得出結果；

（5）證明，即可得出結論；

（6）設，則，證明，得出，設

，，則，，得出，解得：，得出．

解：（1）由折疊的性質得，四邊形是矩形，

，，，

將正方形紙片沿直線折疊，使點落在上的點處，

，，

，

，，

，；

故答案為，；

（2）是等邊三角形，理由如下：

在與中，，

，

，

，

是等邊三角形；

（3）∵將圖②中的沿直線折疊，使點落在點處，

，，

圖③中陰影部分的周長的周長；

故答案為；

（4）將圖②中的沿直線折疊，使點落在點處，

，，

，

，

°，

；

故答案為；

（5）如圖③，

，

，，

，

圖③中的相似三角形（包括全等三角形）共有對，

圖③

故答案為；

（6）設，則，，

，

，

，

，

，

設，，則，，

，

解得：，

∴；

故答案為．