Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O在AC上，以OA為半徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．

（1）判斷直線DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若∠B＝30°，AC＝6，OA＝2，直接寫出陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O相切；理由見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）直線DE與⊙O相切，連接OD，由已知條件證明OD⊥DE即可證明DE是⊙O的切線；
（2）連接OE，根據(jù)陰影部分的面積=四邊形CEDO-扇形DOM的面積計(jì)算即可．

（1）直線DE與⊙O相切，理由如下：

連接OD，

∵OD＝OA，

∴∠A＝∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分線，

∴EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠ODA+∠EDB＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，

即OD⊥DE，

又∵OD為⊙O的半徑，

∴直線DE與⊙O相切；

（2）連接OE，

∵∠B＝30°，

∴∠A＝60°，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠A＝60°，

∴AD＝AO＝DO＝2，∠MOD＝120°，

∵AC＝6，∠B＝30°，

∴AB＝12，

∴BD＝10，

∵EF是BD的垂直平分線，

∴BF＝DF＝5，

∴EF＝，BE＝DE＝，

∴CE＝BC﹣BE＝，

∴陰影部分的面積＝四邊形CEDO﹣扇形DOM的面積＝××4+××2﹣＝．