Question

【題目】如圖1,在Rt△ABC中，∠C=90,BC=6，AC=8.動點M從點B開始沿邊BC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點N從點C開始沿邊CA向點A以每秒2個單位長度的速度運動，點M、N同時出發，且當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動.過點M作MD∥AC,交AB于點D,連接MN.設運動時間為t秒（t≥0）.

(1)當t為何值時，四邊形ADMN為平行四邊形？

(2)是否存在t的值，使四邊形ADMN為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.并探究只改變點N的速度（勻速運動），使四邊形ADMN在某一時刻為菱形，求點N的速度；

(3)如圖2，在整個運動過程中，求出線段MN中點P所經過的路徑長.

Answer 1

【答案】（1）當t為秒時，四邊形ADMN為平行四邊形；（2）；（3）.

【解析】(1)、根據平行四邊形的性質得出MD=AN，然后根據△BMD和△BAC相似得出MD=,BD=，最后根據MD=AN=8-2t得出答案；(2)、根據菱形的性質得出AD=MD=，從而得出t的值；(3)、首先得出點P所運動的路徑為一條線段，然后根據勾股定理得出答案．

(1)、∵MD∥AC， ∴當MD=AN時，四邊形ADMN為平行四邊形，

∵MD∥AC，∴△BMD∽△BAC， ∴.∴. ∴MD=,BD=，

∵AN=8-2t，∴=8-2t， 解得：t=， ∴當t為秒時，四邊形ADMN為平行四邊形；

(2)、∵四邊形ADMN是菱形， ∴四邊形ADMN必為平行四邊形，

而當t=秒時，AD=10-=6，AN=8-=， ∴AD≠AN

∴四邊形ADMN不可能為菱形， 當四邊形ADMN是菱形時，AD=MD=，

∴，∴， ∴AN=AD==， ∴CN=8-=，

∴點N的速度為=；

(3)、∵點M在BC上運動，點N在AC上運動，

∴線段MN的中點P的運動路徑為一條線段， ∵當M在點B時，N在點C，

∴此時點P為BC的中點，CP=3， ∵當N到點A時點M運動的距離BM=4，

∴CM=2， 作P'E⊥BC垂足為E，∴CE=1，∴EP=2，

此時，點P到BC的距離P'E=4， 點P的運動路徑為PP'=．