Question

如圖，已知AD是△ABC的中線，G是△ABC的重心，聯結BG并延長交AC于點E，聯結DE，則S_△ABC：S_△CED的值為

 

．

Answer 1

考點：三角形的重心

專題：

分析：由AD是△ABC的中線，G是△ABC的重心，聯結BG并延長交AC于點E，根據三角形重心的定義與性質可得E為AC的中點，AG=2DG，BG=2GE．設S_△EGD=x，根據
三角形的面積公式，等高的兩個三角形面積之比等于底之比得出S_△EGA=2S_△EGD=2x，那么S_△EAD=S_△EGD+S_△EGA=3x，又E為AC中點，等底等高的兩個三角形面積相等，于是S_△ECD=S_△EAD=3x，S_△ADC=S_△ECD+S_△EAD=6x，同理由AD是△ABC的中線，得出S_△ABC=2S_△ADC=12x，那么S_△ABC：S_△CED=12x：3x=4．

解答：解：∵AD是△ABC的中線，G是△ABC的重心，聯結BG并延長交AC于點E，
∴E為AC的中點，AG=2DG，BG=2GE．
設S_△EGD=x，
∵AG=2DG，
∴S_△EGA=2S_△EGD=2x，
∴S_△EAD=S_△EGD+S_△EGA=3x，
∵E為AC中點，
∴S_△ECD=S_△EAD=3x，
∴S_△ADC=S_△ECD+S_△EAD=6x，
∵AD是△ABC的中線，
∴S_△ABC=2S_△ADC=12x，
∴S_△ABC：S_△CED=12x：3x=4．
故答案為4．

點評：本題考查了三角形重心的定義與性質，三角形的面積，難度適中．設S_△EGD=x，用含x的代數式表示出S_△ABC是解題的關鍵．